Science sans peine

HamsterKiller a écrit:

colimasson a écrit:

Après, je suis facile à émerveiller. La moindre propriété de base me rend perplexe et me fait poser des questions métaphysiques.
Au pif : le fait que la somme des angles d'un triangle fasse 180°C. Ca semble tellement simple. Mais ensuite on se demande comme ça se fait qu'un truc pareil soit possible, qu'il y ait des relations aussi fortes, et aussi immuables (je ne suis pas sûre d'arriver à vous expliquer mon ressenti).

C'est marrant ton ressentis, c'est celui même qui m'a poussé a étudier les math, puis des choses comme la théorie de calculabilité/complexité. J'me souviens d'un prof de math a la fac qui me faisait sourire avec son  "Dieu des math".

Mais bon, la conclusion de tout ça c'est qu'un un triangle ça n'existe pas en dehors de notre tête. pas plus qu'un angle.

Bon c'est pratique comme propriété mentale, ça permet d'aproximer une réalité impossible à saisir autrement. Mais c'est une idélisation de ce qui existe. une abstraction.

Dans ce système de pensé, la démonstration de la somme des angles à 180° dans un triangle est assez facile. Si tu connais le théorème des angles correspondant et opposé ça se démontre en deux lignes (enfin en 1 desssins plutot). (et ça devient moins fascinant).

En math tout est tautologie, c'est a dire que tout est une répétition des axiomes d'une théorie assemblée entre eux par les règles de logiques. Et ce qui est vrai l'est seulement dans un système axiomatique et logique bien définit, rien est universel.

il existe des géométrie ou la somme des angles d'un triangle sont toujours supérieur a 180° et d'autre ont la somme des angles sont toujours inférieur a 180°.

en physique, l'une ou l'autre des théorie peut être utilisé selon l'échelle a laquelle on se place et ce que l'on fait.

Merci pour cette jolie réponse... qui me renforce mon idée que ceux qui aiment les jolis trucs (comme des beaux livres)
devraient trouver sexy les maths.

Pour la physique, j'ai eu l'occasion d'écouter plusieurs fois Etienne Klein en conférence (sur des sujets divers), et pour le coup, c'est comme une histoire. On se laisse porter, et on se met à rêver.

animal a écrit:

et j'en profite pour suggérer un coup d'œil chez : Ludwig Wittgenstein

Très bonne suggestion...

colimasson a écrit:

animal a écrit:

et j'en profite pour suggérer un coup d'œil chez : Ludwig Wittgenstein

Très bonne suggestion...

J'ai jeté "un coup d'oeil" au fil.

On dirait bien que Wittgenstein  est passé du tout au tout non ?

Colimasson a écrit:

Si des thèmes et des exigences se retrouvent dans les deux versions de sa philosophie, il n’en demeure pas moins qu’il passe d’une conception du langage comme monolithique, où l’abstraction et l’atomisme logiques prédominent, à une conception ouverte à la diversité culturelle des usages langagiers

L'évolution qui semble radicale de Wittgenstein est-elle liées aux grande évolution dans le domaine des sciences formelles   (Church/Turing, Godel, Von neumann)  qui ont eu lieu dans les années 30 à 50 et annoncent l'avènement de l'ère informatique (théorie des langages, théories de la calculabilité, théorie de l'information, mathématiques discrète) ?

Ce qui est étrange c'est que les deux impressions sur le Tractatus (Colimasson et Animal) ne donne pas la même impression du contenu de ce livre, ce qui eveille la curioité.

difficile à dire si on se considère très marqué par les théories auxquelles tu fais référence (et sans vraiment les connaitre) mais la rédaction du tractatus est antérieure (écrit pendant la première guerre mondiale). à la louche les problématiques de "modélisation" sont forcément antérieures, l'attention portée aux limites de cette modélisation (et langage) je ne sais pas. les limites et les faux sens.

d'Etienne Klein, je recommande tout particulièrement L'unité de la physique, une histoire quasiment romanesque de cette science, passionnant, instructif et accessible.

animal a écrit:

difficile à dire si on se considère très marqué par les théories auxquelles tu fais référence (et sans vraiment les connaitre) mais la rédaction du tractatus est antérieure (écrit pendant la première guerre mondiale). à la louche les problématiques de "modélisation" sont forcément antérieures, l'attention portée aux limites de cette modélisation (et langage) je ne sais pas. les limites et les faux sens.

[avant propos    : Me suis complétement laissé aller à écrire un laïus.... ça ne fait pas bien longtemps que je suis là et je suis déjà chiant... mais bon voilà : ci-dessous mes petites "réflexions" sur le formalisme, le langage formel, la méthode axiomatique, choses qui m'ont intéressées un bout de temps, qui continuent de me fasciner mais qui ne sont plus les seules que je tiens pour essentielles].

Oui la rédaction du tractatus est antérieur. C'est justement pour ça que je me demandais, en remarquant que colimasson à écrit que les ouvrages vers 1950 de Wittemberg semblent tournés plus vers "un concept de langage naturel plutôt que logique", comment cette évolution que semble manifester Witterberg est liée au grande avancée dans le domaine des sciences formelles des années 30 et plus..

Il y avait un courant de pensé venant de la fin du XIX, et peut être porté par Witterberg lors de sa rédaction du tractatus,   portant l'espoir  que tout ce qui est exprimable dans un langage formel (et qui n'est pas un axiome) est décidable dans le cadre d'un système axiomatisable et donc calculable (trouver l'enchainement des propositions) par un processus automatique. Je pense que jusqu'à Gödel, il y avait encore cet espoir que toutes vérités intéressantes dans un système axiomatique donné étaient atteignables par la raison, c.a.d le raisonnement, c.a.d l'enchainement judicieux de proposition dans un système logique formel. Croyant cela, je me dit qu'on pouvait croire encore a cette époque que seul le choix des axiomes d'une théorie serait déterminant dans notre capacité à trouver TOUTES bonnes propriétés (bonnes = "réelles"  où prise pour réelle dans le sens où l'on pense que les axiomes de bases choisis d'une théorie sont fidèles au reflet d'une certaine réalité perçue par nos sens/entendement).

Depui Godel et Turing, on sait que c'est faux, c'est à dire que dans tout système logico-formel (suffisamment intéressant pour contenir l’arithmétique), il existe des énoncés indécidables. Que faire de ces énoncés 'E' ? intégrer  arbitrairement E ou non E  au système axiomatique pour en  construire un nouveau ? Où observer le monde par nos sens/"bon sens" pour choisir E ou nonE avec tout ce que cela comporte d'incertitude que sont supposément combattre les sciences formelles Ou alors développer les deux théories (une avec E une avec nonvE) en parallèle et prendre ce qui est bon dans l'une et l'autre selon les circonstances...

Dans tout les cas, on échappe pas à la soumission du raisonnement s'exprimant dans le langage formel à la réalité, si réalité il y a.

Cela ne remet pas en cause la toute puissance de la méthode scientifique qui observe là certaines de ces limites qui vont surement devenir des forces dans le futur. Mais on voit là poindre un problème de la méthode axiomatique, une limite qui est une vraie limite dans l'"absolue" de la connaissance.

Ainsi depuis quelques années, et notamment depuis la lecture de ce bouquin,  (Gilles Doweck : Les métamorphoses du calcul) mais ça pointait le bout de son nez avant, je comprend que ce que s'exprime formellement à une limite. Cette limite correspond, pour des raisons difficiles à expliquer (mais abordées dans le livre (aprés je sur-interprète largement je pense :) ), aux limites du monde matériel (monde matériel = le monde des états (la matière) et la possibilité du changement d'état (le temps).    Le formalisme axiomatique = Proposition (symbole) + logique (succession des propositions).
il y a une analogie entre la proposition qui se note (l'état) et la logique/règle d'inférence (le changement d'état).
Ainsi il y a une analogie entre la proposition jouant le rôle de la matière fixant l'état, et la logique permettant le changement d'état  c'est à dire jouant le rôle du temps.

Mais de deux choses l'une, ou bien il n'existe rien au delà du monde matériel et un jour des machines pourront tout nous apprendre (Machine = être de matière, que l'on construit dans la matière). Où bien il existe quelque chose au delà de la matière, ce que je crois(croire=acte de foi donc) (je ne parle pas de religieux bien sur, je pense plutôt a la substance et la nature de l'émotion, des choses qui n'obéissent pas aux principes de la matière et où tout au plus la matière joue le rôle de substrat permettant à ces choses de s'incarner : La joie n'est pas une injection de dopamine dans le sang, la dopamine dans le sang est une astuce qu'a trouvé la matière pour nous dire : "Maintenant, TOI,  ressent la joie". Mais qu'est ce que la joie ? )

Actuellement je crois (ça n'a pas toujours été le cas) que la création littéraire, l'art, bref tout ce qui vient soufflée sur l'émotion humaine dépasse le cadre du matériel, donc du pur formalisme par l'émotion que peuvent susciter ces choses là. Si les arts requièrent nos sens pour nous émouvoir, et sont donc radicalement différents du langage formel,  la littérature est particulière puisqu'elle est purement formelle, de nature informative... Mais en fait elle est la forme élaborée du langage formel, elle est la proposition, dans le sens de "proposer", puisque sans l'axiome , elle a plus de potentiel que le signe car elle possède l'image dénuée d'origine et sans autre but que le cœur des hommes.

il y a l'émotion esthétique bien sur, mais celle là les mathématiques peuvent la donner aussi, mais il y a bien plus, c'est l’intérêt de ces forme là, elle ne sont pas le simple émerveillement face à l'Extérieur, elle sont le pont tendu entre Matière(pour les art classique)/symbole(littérature) ET Émotions, entre Extérieur et Intérieur.


La terre est bleue comme une orange
Jamais une erreur les mots ne mentent pas
Ils ne vous donnent plus à chanter
Au tour des baisers de s’entendre
Les fous et les amours
Elle sa bouche d’alliance
Tous les secrets tous les sourires
Et quels vêtements d’indulgence
À la croire toute nue.

Les guêpes fleurissent vert
L’aube se passe autour du cou
Un collier de fenêtres
Des ailes couvrent les feuilles
Tu as toutes les joies solaires
Tout le soleil sur la terre
Sur les chemins de ta beauté.

Elles sont ce qui exprime l'inexprimable, peut être la matière se regardant elle même au travers de je ne sais quel miroir.

tu peux écrire tant que tu veux si tu gardes cette qualité de réflexion, hamsterkiller ! Bravo pour la synthèse entre logique formelle, mathématiques et celle qui est quasiment au-delà des mots (et merci pour le poème d'Eluard).

ce que tu dis de l'émotion me rappelle l'extrait laissé par bix (sur le fil Glanages de la Quinzaine Littéraire) à propos du livre de Ameisen (l'émotion induit la conscience de soi, même dans le règne animal).

L'avenir nous dira si la science sera capable un jour de modéliser les émotions et donc d'en inventer ou de les inclure dans les futures machines...

(pareil, je suis débordée, mais je me réjouis de revenir lire toutes vos contributions, et d'aller sur les liens proposés)

l'art qui dépasse le matériel c'est difficile à dire maybe... mais ma question (parce que je sens que c'est le moment, vous êtes chauds) porterait sur le rapport entre modèle et méthode.

Si on considère que le modèle s'applique à un contexte particulier, la méthode serait ce qui permettrait de faire la correspondance entre les deux, une sorte de modèle/grille qui déterminerait la transition (ou le choix) d'un modèle plutôt qu'un autre. (avec évidemment mais pas forcément le rapport à "l'expérience scientifique").

Modèle et méthode dissociables ? en principe ? en pratique ?

Méthode/modèle.

Je suis pas bien sur d'avoir compris la question.  De plus il est 1h42 du matin et que demain j'ai taf , et je ne suis toujours  pas couché car j'ai essayé de répondre quand même  ... et que j'ai écris des pavés et des pavés en rentrant dans des détails pas possibles et que c'est pas possible de faire ça comme ça.

(j'étais partie sur les systèmes proie/prédateur, et leurs différentes modélisations (équadiff, automate cellulaire, simulation numérique...) que je connais pas mal car j'avais eu à dispenser un TP là dessus à des étudiants en agronomie. Partie la dessus pour illustrer et cerner la différence que tu émets entre méthode et modèle.)

je peux patienter beaucoup et je peux essayer de préciser la question (un peu plus tard, dans un futur mal déterminé). mais merci.  

HamsterKiller a écrit:

Depui Godel et Turing, on sait que c'est faux, c'est adire que dans tout système logico-formel (suffisamment interessant pour contenir l'arirthmétique), il existe des énnoncés indécidables. Que faire de ces ennoncés E ? integrer  arbitrairement E ou nonE  au système axiomatique pour en  construire un nouveau ? Où observéer le monde par nos sens/"bon sens" pour choisitr E ou nonE avec tout ce que cela comporte d'incertitude que sont supossément combattre les sciences formelle.s Ou alors développéer les deux théories (une avec E une avec nonE) en parallèle et prendre ce qui est bon dans l'une et l'autre selon les circonstances...

Peux-tu vraiment faire cela ? Si tu intègres tous les énoncés indécidables dans ton système axiomatique tu te retrouves avec un système axiomatique. Tu appliques le théorème à ce système et tu montres qu'il existe encore des énoncés indécidables. Or ces énoncés indécidables dans ce nouveau système le sont dans l'ancien et donc tu devrais les avoir inclus comme axiome. On arrive à une absurdité ? Ce qui me fait dire que tu ne devrais pas avoir le droit de les inclure, ou alors tu tombes sur un système qui ne contient plus l'arithmétique ? Ce serait étrange vu que le système que tu construis contient l'ancien qui contenait l'arithmétique.

animal a écrit:

Si on considère que le modèle s'applique à un contexte particulier, la méthode serait ce qui permettrait de faire la correspondance entre les deux, une sorte de modèle/grille qui déterminerait la transition (ou le choix) d'un modèle plutôt qu'un autre. (avec évidemment mais pas forcément le rapport à "l'expérience scientifique").

Modèle et méthode dissociables ? en principe ? en pratique ?

Le modèle si je vois bien ton idée serait une idée pour représenter les choses. Soit par exemple en mécanique (Newtonienne), une représentaion du mouvement dans le temps, avec le temps qui reste le même dans tous les référentiels spatiaux, et des forces qui expliquent ce mouvement. Modélisation arbitraire qui fonctionne bien.

La méthode participerait plus à l'analyse de ce modèle. Il y a plusieurs façon de voir les choses : La première est que l'on peut choisir pour exprimer ce modèle le simple language. Telle force s'applique entre tel objet et tel objet. Le choix depuis je pense Descartes, est d'utiliser comme méthode les mathématiques (équations notamment). Une fois ce modèle traduit en langage mathématiques, on peut travailler dessus en oubliant (presque) la réalité auquel le modèle se raccroche. On y revient bien sûr pour interpréter le résultat.

Rien que le fait de choisir les mathématiques comme langage pour exprimer le problème (et donc comme méthode) oblige à choisir un modèle plutôt qu'un autre. Aristote pensait que le monde était régi par les éléments et que ce qui venait par exemple de la terre revenait vers la terre, et ceci d'autant plus vite que l'objet en était proche (comme un cheval rentrant à l'écurie). Modélisation qui permet d'expliquer beaucoup de choses mais qui peut être difficile à écrire mathématiquement.

Ensuite, une fois les mathématiques choisis, là encore tout dépend de ce qu'on veut faire. Résoudre notre problème ou simplement en étudier quelques propriétés. Le but recherché pousse à choisir entre différents modèles. Avec les technologies informatiques par exemple il est intéressant d'avoir un modèle discrétisable, c'est à dire que l'on peut facilement le faire passer du continu au discret. Un exemple simple : on veut calculer la température dans un four à un instant donné et en chaque point de l'espace. Le modèle donnera une température qui aura une valeur en chaque point de l'espace (une infinité de points donc). Discrétiser peut revenir à couper l'espace en petits volumes et à leur donner une température unique, ceci pour pouvoir utiliser un ordinateur.

Il existe plein de façons de discrétiser et certaines abandonnées reviennent à la mode parce qu'elles sont très faciles à faire tourner sur plusieurs processeurs (parallélisation des taches).

Quand on ne cherche pas à résoudre le problème, on peut choisir un plus grand panel de modèle. Mais là encore on sera limité par les outils mathématiques. Un modèle trop complexe est souvent inutilisable et il faut bien souvent faire des allers-retours entre modèle et traduction mathématique pour obtenir quelque chose d'étudiable mathématiquement et intéressant d'un point de vue modèle.

En espérant que ça réponde un peu à ta question.

titete a écrit:

HamsterKiller a écrit:

Depui Godel et Turing, on sait que c'est faux, c'est adire que dans tout système logico-formel (suffisamment interessant pour contenir l'arirthmétique), il existe des énnoncés indécidables. Que faire de ces ennoncés E ? integrer  arbitrairement E ou nonE  au système axiomatique pour en  construire un nouveau ? Où observéer le monde par nos sens/"bon sens" pour choisitr E ou nonE avec tout ce que cela comporte d'incertitude que sont supossément combattre les sciences formelle.s Ou alors développéer les deux théories (une avec E une avec nonE) en parallèle et prendre ce qui est bon dans l'une et l'autre selon les circonstances...

Peux-tu vraiment faire cela ? Si tu intègres tous les énoncés indécidables dans ton système axiomatique tu te retrouves avec un système axiomatique. Tu appliques le théorème à ce système et tu montres qu'il existe encore des énoncés indécidables. Or ces énoncés indécidables dans ce nouveau système le sont dans l'ancien et donc tu devrais les avoir inclus comme axiome. On arrive à une absurdité ? Ce qui me fait dire que tu ne devrais pas avoir le droit de les inclure, ou alors tu tombes sur un système qui ne contient plus l'arithmétique ? Ce serait étrange vu que le système que tu construis contient l'ancien qui contenait l'arithmétique.

intégrer tout les énoncés indécidables non, car il y a en a 'trop' : Un système axiomatique est  un ensemble d'énoncés "recursivement énumérable" (ie qui peuvent être calculer par une machine de Turing). L'ensemble des énoncés non décidable dans une théorie suffisamment complexe pour contenir l'arithmétique est "non récursivement énumérable".

Mais pour les énoncés essentiels. sur lesquels on tombe.. C'est ce qui se fait (il n'y a pas d'autre choix).

Exemple concret :

La théorie des ensembles a été construite par cantor et axiomatisé par Zermelo-Fraenkel. Dans cette théorie on démontre que le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est strictement plus petit que le cardinal de l'ensemble des nombres réels. (pas de bijection entre ces deux ensembles)

Une question naturelle se pose alors : Existe-il un ensemble dont le cardinal se trouve entre celui des naturels et celui des réels. Cette  question est l'hypothèse du continue. (y'a t-il un gap intrinsèque dès lors que l'on passe du discret au continue?

Il fut démontrer que dans le cadre de l'axiomatisation de Zermelo-fraenkel (ZF), cette hypothèse est indécidable. Cela veut dire que la théorie ZF est incomplète pour trancher cette question et que donc il faut "ajouter" ou "rechercher" des axiomes permettant de la trancher si cette question intervient.

Les mathématiques sont entré dans une nouvelle ère. finalement la recherche de proposition dans une théorie présente deux intérêts.

-> La proposition est décidable. On peut démontrer qu'elle est vrai ou fausse et si cette proposition est intéressante cela devient alors un théorème, un lemme. (Ce qui est en fait une partie "calculatoire au sens large" des théories mathématiques axiomatisées même si l'homme lors de leur résolution, en appel à des images intérieures ( images contenues en partie dans des théorèmes existants) et de nouvelles images reliant les théorèmes entre eux pour aller vers un but, pour trouver le chemin menant des axiomes à la proposition ou sa contraposée. la fabrication de ces images est d’ailleurs je pense proche du travail du poète. (mais une fois que ces images passe dans le formalisme, on fige l'image qui devient symbole et le sacré de la création artistique s'en échappe.)

-> Ou On démontre que la proposition est indécidable. cela signifie que la théorie axiomatique est incomplète pour trancher la question (il n'existe aucun chemin entre les axiome et la proposition, elle est indépendante du système axiomatique). Si la proposition semble révéler un intérêt aux yeux des mathématiciens, (comme l'hypothèse du continue) il va falloir chercher des axiomes permettant de trancher cette question. Et surtout de comprendre en quoi et comment ce nouvel axiome apporte l'information formelle qui manquait à l'ancien système.

en ce qui concerne l'hypothèse du continue, d’après wiki :

wiki a écrit:

Paul Cohen a montré en 1963 que l'hypothèse du continu n'était pas démontrable dans la théorie des ensembles basée sur les axiomes de Zermelo-Fraenkel. Elle est donc indépendante de la théorie des ensembles.

Il n'y a pas de quoi être surpris de l'existence d'énoncés ne pouvant être démontrés ou infirmés à partir d'un système d'axiomes donné, c'est par exemple le cas du postulat d'Euclide relativement à son système « axiomatique ».

L'hypothèse du continu n'est pas sans rapport avec des énoncés d'analyse, ou de théorie de la mesure.

Historiquement, les mathématiciens en faveur d'une large classe d'ensembles rejettent l'hypothèse du continu, alors que ceux favorables au contraire à une ontologie ensembliste plus restreinte l'acceptent.

Une méthode mise en place par Cohen  (méthode du forçing) a pour but d'argumenter en faveur d'axiomes qui réfuteraient l'hypothèse du continue. le détail de cette méthode dépasse malheureusement allègrement mes connaissances en mathématiques.

D'accord, c'est bien ce à quoi je m'attendais. Tu ne prends qu'un (ou un nombre dénombrable si j'ai bien compris (y a-t-il une hypothèse sur le fait que ce nombre doit être fini ou non ?)) d'axiomes supplémentaires. Intéressant l'exemple de Cantor/ZP, j'ai toujours cru qu'il y avait dénombrable (bijection avec les naturels) et indénombrable (pas de bijections avec les naturels). Je ne connaissais pas cette partie de la recherche en mathématiques.

titete a écrit:

D'accord, c'est bien ce à quoi je m'attendais. Tu ne prends qu'un (ou un nombre dénombrable si j'ai bien compris (y a-t-il une hypothèse sur le fait que ce nombre doit être fini ou non ?)) d'axiomes supplémentaires. Intéressant l'exemple de Cantor/ZP, j'ai toujours cru qu'il y avait dénombrable (bijection avec les naturels) et indénombrable (pas de bijections avec les naturels). Je ne connaissais pas cette partie de la recherche en mathématiques.

Oui. tu ne peux un prendre qu'un ensemble "récursivement énumérable" , qui peut être infini d'ailleurs. vu que par définition on se place dans le cadre de systèmes axiomatiques formant des ensembles récursivements énumérables.

Si ces notions t’intéresses, je t'invite tout de même à regarder par toi même. Ce que je raconte peut être imprécis (voir faux   même si là je pense être resté à un niveau que je maitrise encore ) (dans la mesure ou je m’intéresse à ces notions en "amateur").

par contre ce que je raconte peut donner des clefs pour accéder à cet intriguant champ de la calculabilité - que j'ai eu l'occasion d'étudier dans un cadre académique (école d'ingé, fac) tout de même. Grosso modo qu'est ce qui est atteignable par le calcul (c'est à dire l'application de règles d'inférences sur les systèmes axiomatiques formels) et qu'est ce qui ne l'est pas. Cette distinction me semble essentiel pour tenter de capter la fameuse dualité de tout temps : esprit/matière.

Deux livres intéressants et accessibles à toutes personnes familières du raisonnement mathématique :

- Gilles dowek ; Les métamorphose du calcul (Grand prix de l'académie française  de philosophie)
- Logique et folie - Les démon de Gödel (un peu moins technique et un plus centré sur la personnalité de Gödel.)

aussi, mais la vulgarisation est pas top :

Hasard et complexité : L'oméga de Chaîtin (de Chaîtin).

Le nombre oméga est le premier nombre non-calculable mis en évidence par un "être humain" (et renvoie le mystère de PI aux simples  jeux techniques). On sait ce qu'il représente exactement, on le définit clairement, mais le calcul de ces décimales échappe à TOUS systèmes formels. (même si l'on se donne une infinité de temps) (alors que PI, des algos (assez court d'ailleurs) savent parfaitement égrainer chacune de ces décimales)